Biegelinie

1. Grundlagen
2. Krümmung der Trägerachsen infolge Biegebeanspruchung
3. Differentialgleichung der Biegelinie
4. Differentiale Zusammenhänge zwischen Schnittgrößen und der Belastung
5. Zusammenhang Biegelinie - Belastung
6. Superpositionsgesetz

^^ 1. Grundlagen

Die Ursache für die elastische Durch- biegung von ursprünglich geraden Trägern können Biegemomente, Querkräfte und Temperaturdifferenzen über die Quer- schnittshöhe, sowie äußere Verformungs- einflüsse (Stützsenkungen) sein.

Für den Fall der geraden Biegung erfolgt die Verformung der Stabachse in Richtung der Lastebene. Die aus den Biege- momenten verformte Stabachse bezeichnet man als Biegelinie.

Der Anteil der Querkräfte an der Verformung ist in den meisten Fällen klein und daher zu vernachlässigen.

Verwendet wird die Biegelinie zur Ermittlung der Durchbiegung und der Neigungswinkel an bestimmten Punkten von Trägern zum Vergleich mit zulässigen Formänderungen und zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme.


^^ 2. Krümmung der Trägerachsen infolge Biegebeanspruchung

Ausgangspunkt für die Ermittlung der Biegelinie bildet die Krümmung der Trägerachse.

traegerachse

is2

is4

Zufolge des Hooke'schen Gesetzes gilt is6

Die Gleichung is8 in Verbindung mit dem bisherigen Ergebnis ergibt is10

Krümmung der Trägerachse ist is12


^^ 3. Differentialgleichung der Biegelinie

Zwischen der Krümmung einer Kurve und der Funktion w = w (x) besteht der Zusammenhang:
is14

Die Differentialgleichung der Biegelinie lautet is16

Die EJ- fache negative 2. Ableitung ergibt die Funktion der Momentenlinie is18

Biegelinie - Momentenlinie

^^ 4. Differentiale Zusammenhänge zwischen Schnittgrößen und der Belastung

Aus den bisher durchgeführten statischen Berechnungen konnten bereits einige Erkenntnisse über den Zusammenhang zwischen Belastung, Querkraft und Biegemoment gewonnen werden.

System

Traeger System


Trägerstück der Länge dx

Traegerstueck der Laenge dx

Gleichgewichtsbedingungen hinsichtlich Querkraft

is20

is22 und folglich is24 also die negative Belastungsfunktion ist gleich der 1. Ableitung der Funktion der Querkraftlinie.

Gleichgewichtsbedingungen hinsichtlich Momente

is26

is28

is30 kann als unendlich kleine Größe höherer Ordnung vernachlässigt werden

is32 und somit is34 . Also, die 1. Ableitung der Funktion der Momentenlinie liefert die Querkraft für jede Stelle.

^^ 5. Zusammenhang Biegelinie - Belastung

Geht man von der Funktion w = w (x) der Biegelinie aus, dann bedeutet deren 1. Ableitung die Funktion der Neigung der Stabachse w' = w'(x) ungefähr gleich rho(x).

Die EJ- fache negative 2. Ableitung ergibt die Funktion der Momentenlinie EJ w'' = - M.

Über den differentialen Zusammenhang zwischen Belastung, Querkraft und Biegemoment

is34_00 is24_00

gelangt man zu den Verknüpfungen zwischen der Funktion der Biegelinie und der Belastungsfunktion:

is38 Neigung der Stabachse
is40 Momentenlinie
is42 Querkraftlinie
is44 Belastungsfunktion

^^ 6. Superpositionsgesetz

Wirken auf einen Träger mehrere Belast- ungen, so kann nach den Regeln der Statik
das daraus entstehende Gesamtbiege- moment My als Summe der aus einzelnen Belastungen herrührenden Biegemomenten verstanden werden.
Infolge der Linearität der Differential- gleichung der Biegelinie erhalten wir die Durchbiegung aus mehren Belastungen aus der Summe der Durchbiegungen der einzelnen Belastungen.



(c) Walther Neuper 2005 supported by a grant from NMI Austria (math-autor)