Die Ursache für die elastische Durch- biegung von ursprünglich geraden Trägern können Biegemomente, Querkräfte und Temperaturdifferenzen über die Quer- schnittshöhe, sowie äußere Verformungs- einflüsse (Stützsenkungen) sein.
Für den Fall der geraden Biegung erfolgt die Verformung der Stabachse in Richtung der Lastebene. Die aus den Biege- momenten verformte Stabachse bezeichnet man als Biegelinie.
Der Anteil der Querkräfte an der Verformung ist in den meisten Fällen klein und daher zu vernachlässigen.
Verwendet wird die Biegelinie zur Ermittlung der Durchbiegung und der Neigungswinkel an bestimmten Punkten von Trägern zum Vergleich mit zulässigen Formänderungen und zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme.
Ausgangspunkt für die Ermittlung der Biegelinie bildet die
Krümmung der Trägerachse.
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Zufolge des Hooke'schen Gesetzes gilt
Die Gleichung in Verbindung mit dem
bisherigen Ergebnis ergibt
Krümmung der Trägerachse ist
Zwischen der Krümmung einer Kurve und der Funktion w = w (x)
besteht der Zusammenhang:
Die Differentialgleichung der Biegelinie lautet
Die EJ- fache negative 2. Ableitung ergibt die Funktion der
Momentenlinie
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Aus den bisher durchgeführten statischen Berechnungen konnten bereits einige Erkenntnisse über den Zusammenhang zwischen Belastung, Querkraft und Biegemoment gewonnen werden.
System
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Trägerstück der Länge dx
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und
folglich
also die negative
Belastungsfunktion ist gleich der 1. Ableitung der Funktion der
Querkraftlinie.
Gleichgewichtsbedingungen hinsichtlich Momente
kann als unendlich
kleine Größe höherer Ordnung vernachlässigt werden
und somit
. Also, die 1. Ableitung der
Funktion der Momentenlinie liefert die Querkraft für jede Stelle.
Geht man von der Funktion w = w (x) der Biegelinie aus, dann bedeutet deren 1. Ableitung die Funktion der Neigung der Stabachse w' = w'(x) ungefähr gleich rho(x).
Die EJ- fache negative 2. Ableitung ergibt die Funktion der Momentenlinie EJ w'' = - M.
Über den differentialen Zusammenhang zwischen Belastung, Querkraft und Biegemoment
gelangt man zu den Verknüpfungen zwischen der Funktion der
Biegelinie und der Belastungsfunktion:
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Neigung der Stabachse |
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Momentenlinie |
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Querkraftlinie |
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Belastungsfunktion |